Class 9–10 · Mathematics · Coordinate Geometry कक्षा ९–१० · गणित · निर्देशांक ज्यामिति

Parallel & Perpendicular Lines समानान्तर र लम्ब रेखाहरू

Determine conditions that guarantee parallelism and perpendicularity of lines — explained through real-world 3D scenes. रेखाहरू समानान्तर वा लम्ब हुने सर्तहरू पत्ता लगाउनुहोस् — वास्तविक जीवनका 3D दृश्यहरू मार्फत बुझ्नुहोस्।

📘 Concept📘 अवधारणा

🟢 Parallel Linesसमानान्तर रेखाहरू

Two lines are parallel if they have the same slope but different y-intercepts. They never intersect, no matter how far extended. दुई रेखाहरूको ढाल (slope) उस्तै तर y-अन्तर्खण्ड फरक भएमा ती समानान्तर हुन्छन्। तिनीहरू जति पनि लम्ब्याए पनि कहिल्यै भेट्दैनन्।

Conditionसर्त

m₁ = m₂

🟣 Perpendicular Linesलम्ब रेखाहरू

Two lines are perpendicular if their slopes are negative reciprocals of each other. They intersect at a right angle (90°). दुई रेखाहरूको ढाल एकअर्काको ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) भएमा ती लम्ब हुन्छन्। तिनीहरू ९०° को कोणमा काट्छन्।

Conditionसर्त

m₁ · m₂ = −1

🌍 Real-Life 3D Examples🌍 वास्तविक जीवनका 3D उदाहरणहरू

Railway Tracksरेल पटरी

Real-life model of Parallel Linesसमानान्तर रेखाको वास्तविक उदाहरण

Two rails stay the same distance apart forever — same slope, never meet. दुबै पटरी सधैं उस्तै दूरीमा रहन्छन् — ढाल उस्तै, कहिल्यै भेट्दैनन्।

Railपटरी 1y = 2x + 3

Railपटरी 2y = 2x − 5

m₁ = 2 m₂ = 2
m₁ = m₂ ✓

Since m₁ = m₂ → the rails (lines) are PARALLEL 🟢 m₁ = m₂ भएकोले → पटरीहरू (रेखाहरू) समानान्तर छन् 🟢

City Road Junction (Chowk)सहरको सडक चोक

Real-life model of Perpendicular Linesलम्ब रेखाको वास्तविक उदाहरण

The two roads cross exactly at a right angle at the chowk. दुई सडकहरू चोकमा ठ्याक्कै ९०° कोणमा काट्छन्।

Roadसडक 1y = ½x + 1

Roadसडक 2y = −2x + 4

m₁ = ½ m₂ = −2
m₁ · m₂ = (½)(−2) = −1

Since m₁·m₂ = −1 → the roads (lines) are PERPENDICULAR 🟣 m₁·m₂ = −1 भएकोले → सडकहरू (रेखाहरू) लम्ब छन् 🟣

Manakamana Cable Car Ropesमनकामना केबलकार डोरी

Neither? Check by rewriting the equation firstकेही पनि होइन? पहिले समीकरण पुनर्लेखन गरी जाँच्नुहोस्

Both cable ropes rise at the same steady slope up the hill. दुबै केबल डोरी पहाडतिर उस्तै ढालमा माथि जान्छन्।

Ropeडोरी 1y = −3x + 2

Ropeडोरी 23x + y = 7

Rewrite Rope 2:डोरी २ पुनर्लेखन: 3x + y = 7 → y = −3x + 7
m₁ = −3 m₂ = −3

Since m₁ = m₂ → the ropes (lines) are PARALLEL 🟡 m₁ = m₂ भएकोले → डोरीहरू (रेखाहरू) समानान्तर छन् 🟡

🧮 Check Your Own Lines🧮 आफ्नै रेखा जाँच्नुहोस्

Is it Parallel, Perpendicular, or Neither?समानान्तर, लम्ब, वा केही होइन?

Type any two line equations and check instantlyकुनै पनि दुई रेखाका समीकरण टाइप गरी तुरुन्तै जाँच्नुहोस्

Accepted formats: y = 2x + 3, y = -1/2x + 4, or general form 3x + y = 7. स्वीकार्य ढाँचा: y = 2x + 3, y = -1/2x + 4, वा साधारण रूप 3x + y = 7।

Line 1 equationरेखा १ को समीकरण

Line 2 equationरेखा २ को समीकरण

✏️ Enter two equations above and press Check Lines to see the slopes and the verdict. माथि दुई समीकरण लेखेर रेखा जाँच्नुहोस् थिच्नुहोस्, ढाल र नतिजा देखिनेछ।