ज्यामितीय स्थानान्तरण सिम्युलेटर

कक्षा-८ को गणित पाठ्यक्रम अनुरूप बिन्दु, रेखा र त्रिभुजको परावर्तन, विस्थापन, र परिक्रमण को सहज दृश्य प्रस्तुति।

१. परावर्तन

X र Y अक्ष मार्फत हुने दर्पण परावर्तनको सिकाइ

२. विस्थापन

दिशानिर्देश र दूरी अनुसार विस्थापनको नियम

३. परिक्रमण

उद्गम बिन्दु केन्द्रमा धनात्मक र ऋणात्मक परिक्रमण

पाठ परिचय

स्थानान्तरण (Transformation) भनेको के हो?

ज्यामितिमा कुनै पनि बिन्दु, रेखा वा बहुभुजको spot, आकार वा अभिमुखीकरण परिवर्तन गर्ने प्रक्रियालाई स्थानान्तरण (Transformation) भनिन्छ। कक्षा ८ को पाठ्यक्रममा हामीले तीन प्रकारका स्थानान्तरणहरू सिक्नुपर्छ, जसले मूल आकृतिको आकार वा नाप परिवर्तन गर्दैनन्, केवल त्यसको स्थिति परिवर्तन गर्छन्:

क

परावर्तन (Reflection)

कुनै निश्चित अक्षलाई ऐना (Mirror Line) मानेर प्रतिबिम्ब बन्ने क्रिया। ऐनाको परावर्तनलाई गणितीय रूपमा $P(x,y) \rightarrow P'(x,-y)$ वा $P(x,y) \rightarrow P'(-x,y)$ द्वारा अभिव्यक्त गरिन्छ।

ख

विस्थापन (Translation)

कुनै आकृतिलाई सिधा विस्थापन भेक्टर $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ का आधारमा सार्नु, जसलाई $P(x,y) \rightarrow P'(x+a, y+b)$ सूत्रले जनाउँछ।

ग

परिक्रमण (Rotation)

उद्गम बिन्दु $O(0,0)$ लाई केन्द्र मानेर आकृति घुमाउनु। $+90^\circ$ परिक्रमणको नियम $P(x,y) \rightarrow P'(-y,x)$ र $-90^\circ$ परिक्रमणको नियम $P(x,y) \rightarrow P'(y,-x)$ हो।

द्रव्य स्थानान्तरण सिद्धान्त

"स्थानान्तरण गर्नु अगाडिको मूल वस्तु (Object) र स्थानान्तरण पछिको प्रतिबिम्ब (Image) सधैं नाप, आकार र संरचनामा समान अर्थात् **सर्वाङ्गसम (Congruent)** हुन्छन्।"

परावर्तन सिम्युलेटर (Reflection Map)

नियन्त्रण प्यानल

माथिको ग्राफमा एउटा त्रिभुज $\Delta ABC$ देखाइएको छ। X-अक्ष वा Y-अक्ष परावर्तन छनौट गरी यसको गणितीय प्रतिबिम्ब पत्ता लगाउनुहोस्।

स्थानान्तरण सूत्र

$P(x, y) \rightarrow P'(x, -y)$

शीर्षबिन्दु	मूल बिन्दु	प्रतिबिम्ब

* सुझाव: ग्राफमा माउस वा औंलाले त्रिभुजका बिन्दुहरू $A, B, C$ लाई तानेर (Drag) हेर्नुहोस्। प्रतिबिम्ब स्वतः परिवर्तन हुनेछ।

परावर्तनका व्यावहारिक प्रश्नहरू (Reflection Practice Tasks)

प्रश्न १ (अभ्यास १९.१)

बिन्दु $P(5, -6)$ लाई $Y$-अक्षबाट परावर्तन गर्दा बन्ने प्रतिबिम्ब $P'$ को निर्देशाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् र दुरी $PP'$ पत्ता लगाउनुहोस्।

चरण-दर-चरण समाधान:

१. सूत्र: $P(x, y) \xrightarrow{Y\text{-axis}} P'(-x, y)$
२. तसर्थ, $P(5, -6) \rightarrow P'(-5, -6)$ हुन्छ।
३. दुरी $PP' = |x_1 - x_2| = |5 - (-5)| = 10$ एकाइ।

प्रश्न २ (क्रियाकलाप १)

$\Delta ABC$ मा $A(1, 2)$, $B(2, 0)$, $C(3, 3)$ छन्। यसलाई $X$-अक्षमा परावर्तन गर्दा बन्ने प्रतिबिम्ब पत्ता लगाउनुहोस्।

चरण-दर-चरण समाधान:

१. सूत्र: $P(x, y) \xrightarrow{X\text{-axis}} P'(x, -y)$
२. $A(1, 2) \rightarrow A'(1, -2)$
३. $B(2, 0) \rightarrow B'(2, 0)$ (X-अक्षमै रहेको बिन्दु यथावत रहन्छ)
४. $C(3, 3) \rightarrow C'(3, -3)$

विस्थापन सिम्युलेटर (Translation Map)

विस्थापन भेक्टर (Vector): T = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}

विस्थापन नियन्त्रक (Sliders)

X-अक्ष विस्थापन (दायाँ/बायाँ): $a$ 3

Y-अक्ष विस्थापन (माथि/तल): $b$ 2

विस्थापन सूत्र

$P(x, y) \rightarrow P'(x + 3, y + 2)$

शीर्षबिन्दु	मूल बिन्दु	विस्थापन

विस्थापनका व्यावहारिक प्रश्नहरू (Translation Practice Tasks)

प्रश्न १ (उदाहरण १)

बिन्दु $C(-3, 1)$ लाई $2$ एकाइ दायाँ र $1$ एकाइ माथि विस्थापित गर्दा बन्ने नयाँ बिन्दु $C'$ को निर्देशांक कति हुन्छ?

चरण-दर-चरण समाधान:

१. यहाँ विस्थापन नियम (Vector) $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ हो।
२. मूल बिन्दु $C(-3, 1)$ लाई विस्थापन गर्दा:
$C'(x', y') = C'(x + a, y + b) = C'(-3 + 2, 1 + 1)$
३. तसर्थ, नयाँ बिन्दु $C'(-1, 2)$ हुन्छ।

प्रश्न २ (अभ्यास १९.२)

शीर्षबिन्दुहरू $A(1, 0)$, $B(4, 5)$ र $C(7, -2)$ भएको $\Delta ABC$ लाई $3$ एकाइ दायाँ र $5$ एकाइ तल विस्थापन गरी नयाँ निर्देशाङ्कहरू निकाल्नुहोस्।

चरण-दर-चरण समाधान:

१. यहाँ विस्थापन नियम $T = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ हो।
२. $A(1, 0) \rightarrow A'(1 + 3, 0 - 5) \rightarrow A'(4, -5)$
३. $B(4, 5) \rightarrow B'(4 + 3, 5 - 5) \rightarrow B'(7, 0)$
४. $C(7, -2) \rightarrow C'(7 + 3, -2 - 5) \rightarrow C'(10, -7)$

परिक्रमण सिम्युलेटर (Rotation Map)

नियन्त्रण प्यानल

उद्गम बिन्दु $O(0,0)$ लाई केन्द्र मानेर आकृतिलाई परिक्रमण गराउनुहोस्। घडीको सुई चल्ने विपरीत दिशा धनात्मक (+) र घडीको सुई चल्ने दिशा ऋणात्मक (-) हुन्छ।

परिक्रमण सूत्र

$P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)$

शीर्षबिन्दु	मूल बिन्दु	परिक्रमण

परिक्रमणका व्यावहारिक प्रश्नहरू (Rotation Practice Tasks)

प्रश्न १ (अभ्यास १९.३)

बिन्दु $A(-4, 7)$ लाई उद्गम बिन्दु केन्द्रमा $90^\circ$ धनात्मक परिक्रमण गर्दा प्रतिबिम्बको निर्देशांक कति हुन्छ?

समाधान:

१. सूत्र: $P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)$
२. तसर्थ, $A(-4, 7) \rightarrow A'(-7, -4)$ हुन्छ।

प्रश्न २ (अभ्यास १९.३)

बिन्दु $B(4, -7)$ लाई उद्गम बिन्दु केन्द्रमा $90^\circ$ ऋणात्मक परिक्रमण गर्दा बन्ने नयाँ बिन्दु पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

१. सूत्र: $P(x, y) \rightarrow P'(y, -x)$
२. तसर्थ, $B(4, -7) \rightarrow B'(-7, -4)$ हुन्छ।

प्रश्न ३ (उदाहरण १)

शीर्षबिन्दुहरू $A(6,6), B(4,5)$ र $C(6,2)$ भएको त्रिभुजलाई उद्गम बिन्दुको वरिपरि $180^\circ$ को कोणमा परिक्रमण गराउनुहोस्।

समाधान:

१. सूत्र: $P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)$
२. $A(6,6) \rightarrow A'(-6, -6)$
३. $B(4,5) \rightarrow B'(-4, -5)$
४. $C(6,2) \rightarrow C'(-6, -2)$

संयुक्त स्थानान्तरण ल्याब (Combined Lab)

बहु-स्थानान्तरण कमाण्ड

मूल त्रिभुजलाई एउटै ग्रिडमा परावर्तन, विस्थापन वा परिक्रमण गरी विभिन्न स्थानमा हेर्नुहोस्।

स्थानान्तरण रेकर्ड (History Trace):

Object → Active Graph Loaded

अभ्यास तथा हाजिरीजवाफ (Interactive Quiz Zone)

प्राप्त अंक: 0 / 5

बधाई छ! तपाईंले पाठ सफलतापूर्वक पूरा गर्नुभयो।

स्थानान्तरण (Transformation) अन्तर्गत परावर्तन, विस्थापन र परिक्रमण गणित र दैनिक जीवनमा अत्यन्तै उपयोगी परिभाषाहरू हुन्। यसलाई ग्राफमार्फत चित्रण गरी बुझ्न सकिन्छ।

१. परावर्तन (Reflection)

$X$-अक्ष: $P(x, y) \rightarrow P'(x, -y)$
$Y$-अक्ष: $P(x, y) \rightarrow P'(-x, y)$

२. विस्थापन (Translation)

$T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ भए,
$P(x, y) \rightarrow P'(x + a, y + b)$

३. परिक्रमण (Rotation)

$+90^\circ$: $P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)$
$-90^\circ$: $P(x, y) \rightarrow P'(y, -x)$

"Mathematics becomes easy when we visualize it."

- R.P. Pandey