Grade 8 | Math

📐 क्षेत्रफल र आयतन

AREA AND VOLUME — Interactive Simulation

✦ R.P. Pandey
📘

पुनरवलोकन (Review)

Area and Volume — Chapter 8 | Grade 8 Mathematics

क्षेत्रफल भनेको समतल सतहमा कुनै वस्तुको सतहले ओगटेको ठाउँ हो।
"Area is the amount of space a surface occupies on a flat plane."
क्षेत्रफल के हो?
१
क्षेत्रफल वर्ग एकाइमा मापन गरिन्छ (cm², m², ft²...)
२
समतल सतहले ओगटेको ठाउँको परिमाण नै क्षेत्रफल हो
३
विभिन्न आकृतिको क्षेत्रफल सूत्रद्वारा निकालिन्छ
त्रिभुज चतुर्भुज वृत्त संयुक्त
ग्रिड गतिविधि

वर्गाङ्कित कागजमा दिइएका आकृतिहरूको क्षेत्रफल अनुमान गर्नुहोस्

Select a shape →
पाठको संक्षिप्त परिचय
विषयसूत्रपृष्ठ
समकोण त्रिभुज\(A = \frac{1}{2} \times b \times h\)92–93
समबाहु त्रिभुज\(A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)95
समद्विबाहु त्रिभुज\(A = \frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}\)96
समानान्तर चतुर्भुज\(A = b \times h\)96–97
समबाहु चतुर्भुज\(A = \frac{1}{2} d_1 d_2\)98–99
समलम्ब चतुर्भुज\(A = \frac{1}{2}h(a+b)\)99–101
चतुर्भुज\(A = \frac{1}{2}d(h_1+h_2)\)101
वृत्त\(A = \pi r^2\)114–119
△

त्रिभुजको क्षेत्रफल

Area of Triangles — Interactive Derivation

(i) समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle)
व्युत्पत्ति: एउटा आयतलाई विकर्णले काट्दा दुईओटा बराबर समकोण त्रिभुज बन्छन्।
आयतको क्षेत्रफल = \(l \times b\)
∴ त्रिभुजको क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times l \times b\)
9 cm
6 cm
Formula
\[A = \frac{1}{2} \times b \times h\]
A = 27 cm²
Rectangle → 2 Equal Triangles
Step-by-Step Derivation
1
आयताकार पेपर लिनुहोस् जसको लम्बाइ l र चौडाइ b छ।
आयतको क्षेत्रफल \(= l \times b\)
2
आयत भित्र एउटा विकर्ण खिच्नुहोस् → आयत २ समकोण त्रिभुजमा विभाजन हुन्छ
3
आयतको क्षेत्रफल \(= 2 \times\) समकोण त्रिभुजको क्षेत्रफल
4
\[\therefore \text{समकोण त्रिभुजको क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times l \times b = \frac{1}{2} \times b \times h\]
Final Formula — समकोण त्रिभुज
\[A = \frac{1}{2} \times b \times h\]
where b = base (आधार), h = height (उचाइ)
नोट: समकोणी समद्विबाहु त्रिभुजमा दुई भुजाहरू लम्ब र आधार बराबर हुने भएकाले,
\[A = \frac{p^2}{2} \quad \text{वा} \quad \frac{b^2}{2}\]
(ii) समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
व्युत्पत्ति: भुजा a भएको समबाहु त्रिभुजमा शीर्षबाट आधारमा लम्ब खिच्दा:
\(BD = DC = \frac{a}{2}\) (Perpendicular bisects base)
1
पाइथागोरस सिद्धान्तबाट: \(AD^2 = AC^2 - CD^2\)
2
\[AD = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]
3
\[A = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]
8 cm
Formula — समबाहु त्रिभुज
\[A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]
A = 27.71 cm²
Equilateral with height construction
(iii) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
AB = AC = a, BC = b
शीर्षबाट आधारमा लम्ब खिच्दा: \(BD = DC = \frac{b}{2}\)
1
\[AD = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}\]
2
\[A = \frac{1}{2} \times b \times \frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2} = \frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}\]
10 cm
8 cm
Formula — समद्विबाहु त्रिभुज
\[A = \frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}\]
A = ...
Isosceles with altitude shown
▱

चतुर्भुजको क्षेत्रफल

Area of Quadrilaterals — Interactive

(i) समानान्तर चतुर्भुज (Parallelogram)
समानान्तर चतुर्भुजको दायाँ त्रिभुजलाई बायाँ लगाएर जोड्दा आयत बन्छ।
∴ क्षेत्रफल = आधार × उचाइ
9 cm
6 cm
Formula
\[A = b \times h\]
A = 54 cm²
Parallelogram → Rectangle transformation
(ii) समबाहु चतुर्भुज / चर्का (Rhombus)
विकर्णहरू d₁ र d₂ परस्पर लम्ब हुन्छन्।
समबाहु चतुर्भुज = ΔABD + ΔCBD
1
\[A = \frac{1}{2} \times AO \times BD + \frac{1}{2} \times CO \times BD\]
2
\[= \frac{1}{2} \times BD(AO + CO) = \frac{1}{2} \times BD \times AC = \frac{1}{2} d_1 d_2\]
8 cm
6 cm
Formula
\[A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\]
A = 24 cm²
Diagonals bisect each other at right angles
(iii) समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium)
समानान्तर भुजाहरू a र b, उचाइ h
मध्यरेखाद्वारा समानान्तर चतुर्भुज बन्छ।
1
\[A = \Delta ADC + \Delta ABC = \frac{1}{2}b\cdot h + \frac{1}{2}a\cdot h\]
2
\[= \frac{1}{2}h(a+b)\]
4 cm
8 cm
5 cm
Formula
\[A = \frac{1}{2} \times h \times (a + b)\]
A = 30 cm²
(iv) साधारण चतुर्भुज (Quadrilateral)
विकर्ण d, विकर्णमा खिचिएका लम्बहरू h₁ र h₂
1
\[A = \Delta ABD + \Delta CBD = \frac{1}{2}d \cdot h_1 + \frac{1}{2}d \cdot h_2\]
2
\[A = \frac{1}{2}d(h_1 + h_2)\]
10 cm
5 cm
4 cm
Formula
\[A = \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2)\]
A = 45 cm²
📋

सूत्र तालिका

Formula Reference Table — All Shapes

सम्पूर्ण बहुभुज तालिका
बहुभुजको नामपरिमितिक्षेत्रफल
त्रिभुज (Triangle)\(P = a+b+c\)\(A = \frac{1}{2} \times b \times h\)
समबाहु त्रिभुज (Equilateral)\(P = 3a\)\(A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles)\(P = 2a+b\)\(A = \frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}\)
समकोणी त्रिभुज (Right-angled)\(P = p+b+h\)\(A = \frac{1}{2} \times p \times b\)
आयत (Rectangle)\(P = 2(l+b)\)\(A = l \times b\)
वर्ग (Square)\(P = 4a\)\(A = a^2 \text{ वा } \frac{d^2}{2}\)
समानान्तर चतुर्भुज (Parallelogram)\(P = 2(a+b)\)\(A = b \times h\)
समबाहु चतुर्भुज / चर्का (Rhombus)\(P = 4a\)\(A = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
चड्गा (Kite)\(P = 2(S_1+S_2)\)\(A = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium)\(P = a+b+c+d\)\(A = \frac{1}{2}h(a+b)\)
चतुर्भुज (Quadrilateral)\(P = AB+BC+CD+AD\)\(A = \frac{1}{2}d(h_1+h_2)\)
वृत्त (Circle)\(C = 2\pi r\)\(A = \pi r^2\)
🔷

संयुक्त आकृति

Composite Shapes & Shaded Region

संयुक्त आकृतिको क्षेत्रफल
संयुक्त आकृतिलाई सरल आकृतिहरूमा विभाजन गरेर प्रत्येकको क्षेत्रफल निकाल्ने र जोड वा घटाउ गर्ने।
\[A_{total} = A_1 + A_2 + \cdots \quad \text{वा} \quad A_{shaded} = A_{outer} - A_{inner}\]
उदाहरण: आयत + समकोण त्रिभुज
दत्त
आयत: l=9cm, b=4cm
त्रिभुज: आधार=6cm, लम्ब=4cm
1
\[A_{\text{rect}} = l \times b = 9 \times 4 = 36\text{ cm}^2\]
2
\[A_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12\text{ cm}^2\]
3
\[A_{total} = 36 + 12 = \mathbf{48\text{ cm}^2}\]
छाया पारिएको भाग (Shaded Region)
\[A_{shaded} = A_{outer} - A_{inner}\]
उदाहरण ३: समानान्तर − समलम्ब
दत्त
समानान्तर चतुर्भुज: b=9cm, h=7cm
समलम्ब: a=4.5cm, b=5.5cm, h=3cm
1
\[A_1 = 9 \times 7 = 63\text{ cm}^2\]
2
\[A_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (4.5+5.5) = 15\text{ cm}^2\]
3
\[A_{shaded} = 63 - 15 = \mathbf{48\text{ cm}^2}\]
उदाहरण ५: खेत − पोखरी
दत्त
खेत: 240ft × 180ft
वर्गाकार पोखरी: भुजा=16ft
1
\[A_{\text{field}} = 240 \times 180 = 43200\text{ ft}^2\]
2
\[A_{\text{pond}} = 16^2 = 256\text{ ft}^2\]
3
\[A_{remain} = 43200 - 256 = \mathbf{42944\text{ ft}^2}\]
तीन आयतको संयुक्त आकृति (उदाहरण २ ख)
दत्त
तीन आयत: ①7m×3m, ②12m×5m, ③10m×3m
1
\[A_1 = 7 \times 3 = 21\text{ m}^2\]
2
\[A_2 = 12 \times 5 = 60\text{ m}^2\]
3
\[A_3 = 10 \times 3 = 30\text{ m}^2\]
4
\[A_{total} = 21 + 60 + 30 = \mathbf{111\text{ m}^2}\]
⭕

वृत्तको क्षेत्रफल

Area of Circle — Interactive Derivation

π (Pi) र परिधि
वृत्तको परिधि र व्यासको अनुपातलाई π (Pi) ले जनाइन्छ।
\[\pi = \frac{C}{d} \approx \frac{22}{7} \approx 3.14\] \[C = \pi d = 2\pi r\]
वृत्तको क्षेत्रफल व्युत्पत्ति
1
वृत्तलाई अनेकौं सानो त्रिभुजाकार खण्डमा विभाजन गर्नुहोस्
2
ती खण्डहरूलाई समानान्तर चतुर्भुज आकारमा मिलाउनुहोस्
3
समानान्तर चतुर्भुजको उचाइ (h) = r, आधार (b) = πr
4
\[A = b \times h = \pi r \times r = \pi r^2\]
Final Formula — वृत्त
\[A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}\] \[C = 2\pi r\]
7 cm
A = 153.94 cm²
C = 43.98 cm
Circle sectored into parallelogram
वृत्त — उदाहरणहरू
उदाहरण ३ (क): वर्ग − वृत्त
दत्त
वर्ग: भुजा=12cm, वृत्त: r=6cm
1
\[A_{\text{sq}} = 12^2 = 144\text{ cm}^2\]
2
\[A_{\text{circ}} = 3.14 \times 6^2 = 113.04\text{ cm}^2\]
3
\[A_{\text{shaded}} = 144 - 113.04 = \mathbf{30.96\text{ cm}^2}\]
उदाहरण ५: इनारको ढकनी
दत्त
क्षेत्रफल = 15400 cm², π=22/7
1
\[15400 = \frac{22}{7} r^2 \Rightarrow r^2 = 4900 \Rightarrow r=70\text{cm}\]
2
\[C = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 = 440\text{cm} = 4.4\text{m}\]
3
\[\text{खर्च} = 4.4 \times 250 = \mathbf{\text{Rs. }1100}\]
🧮

व्यावहारिक समस्याहरू

4 Practical Problems with Full Solutions

Problem 1
🌿 विद्यालयको बगैँचा (School Garden)
एउटा आयताकार बगैँचाको लम्बाइ 20m र चौडाइ 15m छ। बिचमा r = 4m अर्धव्यास भएको गोलाकार पोखरी छ। पोखरीबाहेक बगैँचाको क्षेत्रफल निकाल्नुहोस्।
दत्त
l=20m, b=15m, r=4m
1
\[A_{\text{garden}} = l \times b = 20 \times 15 = 300\text{ m}^2\]
2
\[A_{\text{pond}} = \pi r^2 = 3.14 \times 4^2 = 3.14 \times 16 = 50.24\text{ m}^2\]
3
\[A_{\text{remain}} = 300 - 50.24 = \mathbf{249.76\text{ m}^2}\]
Problem 2
🏫 कक्षाको बैनर (Classroom Banner)
एउटा समबाहु त्रिभुजाकार बैनरको भुजा a = 12 cm छ। बैनरको क्षेत्रफल निकाल्नुहोस्।
दत्त
a = 12 cm, समबाहु त्रिभुज
1
\[A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2\]
2
\[\approx 36 \times 1.732 = \mathbf{62.35\text{ cm}^2}\]
Problem 3
⚽ खेल मैदान (Playground — Trapezium)
समलम्ब चतुर्भुजाकार खेल मैदानमा समानान्तर भुजाहरू a=30m, b=50m र उचाइ h=20m छ। मैदानको क्षेत्रफल निकाल्नुहोस्।
दत्त
a=30m, b=50m, h=20m
1
\[A = \frac{1}{2} \times h \times (a+b) = \frac{1}{2} \times 20 \times (30+50)\]
2
\[= \frac{1}{2} \times 20 \times 80 = \mathbf{800\text{ m}^2}\]
Problem 4
🏠 भुइँको टाइल (Floor Tile)
एउटा वर्गाकार टाइलको भुजा 30cm छ। बिचमा r=12cm भएको वृत्ताकार डिजाइन छ। छाया पारिएको भागको क्षेत्रफल निकाल्नुहोस् (π=3.14)।
दत्त
वर्ग: a=30cm, वृत्त: r=12cm
1
\[A_{\text{sq}} = 30^2 = 900\text{ cm}^2\]
2
\[A_{\text{circ}} = 3.14 \times 12^2 = 3.14 \times 144 = 452.16\text{ cm}^2\]
3
\[A_{\text{remain}} = 900 - 452.16 = \mathbf{447.84\text{ cm}^2}\]
🧩

Smart Quiz

MCQ + Match + Challenge

0
Correct
0
Attempted
—
Score %
30
Seconds
Match the Formula